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\partie{Intégration par parties}

\begin{propriete}[]
  \vspace{-.4cm}
  Soit $ u $ et $ v $ deux fonctions dérivables sur $ [a\ ;\ b] $ de dérivées $ u' $ et $ v' $ continues, alors :
  
  \[
    \int_{a}^{b} uv'(x)\; dx = \left[ u\; v(x)\right ]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'v(x)\; dx
  \]
\end{propriete}

% remarque
\begin{remarque}
  Le choix de $ u $ et $ v' $ est à faire judicieusement puisqu'il faut pouvoir trouver une primitive de $ u'v $.
\end{remarque}

\medskip

\begin{application}[intégration par partie]
  \vspace{-.4cm}
  Calculer $ \int_{0}^{1} x\e^{x}\; dx $.
%  
%  \noindent
%  On ne peut pas trouver une primitive de $ x \mapsto x\e^{x} $ car non de la forme $ u'\e^{u} $.\\
%  On intègre par partie :
%  
%  \[
%    \begin{array}{rcl}
%      u(x) = x & & u'(x) = 1 \\
%      v'(x) = \e^{x} & & v(x) = \e^{x}
%    \end{array}
%  \]
%  
%  \[
%    \int_{0}^{1} x\e^{x}\; dx = \left[ x\e^{x} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \e^{x} \times 1\; dx = \left[ x\e^{x} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \e^{x} \; dx  =  \left[ x\e^{x} \right]_{0}^{1} -  \left[\e^{x} \right]_{0}^{1} = (\e - 0) - (\e - 1) = 1.
%  \]
\end{application}

\medskip

% application
\begin{application}[déterminer une primitive]
  \vspace{-.4cm}
  Déterminer une primitive de $ \ln $ sur $ ]0\ ;\ +\infty[ $.
\end{application}
