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% !TeX root = prof_-_etude_de_fonction_-_2023.1.tex
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\newpage
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\partie{Applications}
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\begin{application}[calculer une dérivée]
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Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions sur l'intervalle donné.
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\begin{tasks} (2)[]
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\task\ $f_1(x) = x^2 \e^{x}$ \qquad pour $x \in \R$
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\task\ $f_2(x) = 3 \ln(x) - \dfrac5{x} + 2\sqrt{x}$ \qquad pour $ x \in ]0\ ;\ +\infty[ $
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\task\ $f_3 = \dfrac{5x+3}{x-4}$ \qquad pour $x \in ]-\infty\ ;\ 4[ \cup ]4\ ;\ +\infty[$
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\task\ $f_4(x) = \e^{x^2-x}$ \qquad pour $x \in \R$
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\task\ $f_5(x) = \ln(x^3+1)$ \qquad pour $x \in ]0\ ;\ +\infty[$
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\end{tasks}
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\end{application}
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\vspace{.4cm}
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\begin{application}[calculer une limite]
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Déterminer les limites suivantes:
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\begin{tasks} (4)[]
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\task\ $ \lim\limits_{x \to +\infty } 5-x^2 \e^{x} $
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\task\ $ \lim\limits_{\substack{ x \to 0 \\ x>0 }} \dfrac{3+x}{\ln x} $
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\task\ $ \lim\limits_{\substack{ x \to -2 \\ x>-2 }} \dfrac{x^2-6x+7}{4+2x} $
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\task\ $ \lim\limits_{x \to -\infty } \e^{x^2-x} $
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\end{tasks}
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\end{application}
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\vspace{.4cm}
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\begin{application}[étudier une fonction et ses asymptotes]
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Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty\ ;\ -2[\cup]-2\ ;\ +\infty[$ par $f(x)=x+3-\dfrac1{x+2}$ et $\ronde{C}_f$ sa courbe représentative.
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\begin{questions}
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\item Calculer la dérivée de la fonction $f$ et étudier ses variations.
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\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
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\item En déduire l'existence d'une asymptote verticale et préciser son équation.
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\item Montrer que la droite $D$ d'équation $y=x+3$ est asymptote oblique à la coiurbe $\ronde{C}_f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
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\item Déterminer la position relative de $\ronde{C}_f$ et de la droite $D$. Justifier.
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\end{questions}
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\end{application}
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\vspace{.4cm}
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