cours/bts/bts2e/fonction variable reelle/sequence 2 - calcul integral/cours - calcul integral - 2023_1/prof - calcul integral - 2023_1/partieII.tex

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\partie{Intégration}

\sspartie{Notion d'aire}

\begin{definition}[intégrale]
  On appelle intégrale de la fonction $f$ entre $a$ et $b$ est l'aire signée sous la courbe de $f$.
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=.3]{fig1.png}
  \end{center}
  Ceci signifie qu'on compte positivement les aires situées au-dessus de l'axe des abscisses et négativement celles situées en-dessous, puis qu'on en fait la somme.\\

  \noindent
  On note alors cette intégrale \(\int_{a}^{b} f(x)\; dx\) et on lira <<intégrale de \(a\) à \(b\) de \(f(x)\)>>. 
\end{definition}

\noindent
$\int_{a}^{b} f(x)\; dx$ peut être interpréter comme la <<somme infinie>> des aires $f(x) \times dx$ des rectangles infinitésimaux de hauteur $f(x)$ et de largeur $dx$.

\vspace{-8pt}

\begin{center}
  \begin{tabular}[c]{ccc}
    \includegraphics[scale=.25]{fig2.png} & \hspace{.4cm} & \includegraphics[scale=.2]{fig3.png}
  \end{tabular}
\end{center}

\begin{multicols}{2}
  \noindent
  Sur l'intervalle $[a\ ;\ b]$ l'aire sous la courbe est la surface du domaine hachuré $D$.\\
  Cette aire est donc obtenue par calcul de \(\int_{a}^{b} f(t)\; dt\).

  \noindent
  L'unité d'aire est donnée par la surface du rectangle $OIAJ$.\\\\

  \columnbreak

  \begin{center}
    \includegraphics[scale=.6]{fig4.pdf}
  \end{center}
\end{multicols}

\sspartie{Calcul d'intégrales}

\begin{propriete}[calcul d'une intégrale]
  Soit $F$ une primitive de $f$ sur l'intervalle $I$. Alors: \qquad $\int_{a}^{b} f(x)\; dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b)-F(a)$.
\end{propriete}

\begin{remarque}
  Dans l'écriture \(\int_{a}^{b} f(x)\; dx\), la lettre $x$ est une variable <<muette>>. Ainsi: $\int_{a}^{b} f(x)\; dx = \int_{a}^{b} f(y)\; dy = \int_{a}^{b} f(t)\; dt = \int_{a}^{b} f$
\end{remarque}

\medskip

\begin{propriete}[]
  \begin{tasks}(3)[style=enumerate]
    \task \(\int_{a}^{a} f(x)\; dx = 0 \)
    \task \(\int_{a}^{b} f(x)\; dx = -\int_{b}^{a} f(x)\; dx \)
    \task \(\int_{a}^{a} k\; dx = k\, \left(b-a\right) \)
  \end{tasks}  
\end{propriete}

\medskip

\begin{application}[calculer une intégrale depuis une primitive]
  Calculer :
  % Questions
  \begin{tasks}(2)
    \task $ A = \int_{1}^{4} \dfrac3{x^2}\; dx $
    \task $ B = \int_{2}^{5} (3t^2+4t-5)\; dt $
    \task $ C = \int_{-1}^{1} 2t^2-1\; dt $
    \task $ D = \int_{-1}^{1} 2+e^{-2x}\; dx $
  \end{tasks}
\end{application}

\sspartie{Propriétés de l'intégrale}

\begin{propriete}[relation de Chasles]
  Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle $ I=[a\ ;\ b] $. Soit $ c $ un réel de $ I $.
  \begin{center}
    \begin{tabular}{cc}
      \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex} 
      \begin{minipage}{.4\textwidth}
        \[
        \int_{a}^{b} f(x)\; dx = \int_{a}^{c} f(x)\; dx + \int_{c}^{b} f(x)\; dx
        \]
      \end{minipage}
      &
      \begin{minipage}{.7\textwidth}
        \includegraphics[scale=.7]{fig5.pdf}
      \end{minipage}
    \end{tabular}
  \end{center}
\end{propriete}

\medskip

\begin{propriete}[linéarité]
  \vspace{-.4cm}
  Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur un intervalle $ I=[a\ ;\ b] $ et $\lambda$ un réel quelconque.
  \[
    \int_{a}^{b} (f(x) + \lambda\, g(x))\; dx = \int_{a}^{b} f(x)\; dx + \lambda\, \int_{a}^{b} g(x)\; dx
  \]
\end{propriete}

\medskip

\begin{propriete}[inégalité]
  Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur un intervalle $ I=[a\ ;\ b] $.
  \begin{itemize}
    \item Si pour tout $ x \in [a\ ;\ b], f(x) \geq 0 $, alors $ \int_{a}^{b} f(x)\; dx \geq 0 $ ;
    \item Si pour tout $ x \in [a\ ;\ b], f(x) \geq g(x) $, alors $ \int_{a}^{b} f(x)\; dx \geq \int_{a}^{b} g(x)\; dx $.
  \end{itemize}
\end{propriete}

\medskip

\begin{application}[]
  \vspace{-.4cm}
  \small
  % Questions
  \begin{questions}
    \item Calculer $ \int_{1}^{e} \dfrac1{x}\; dx $.
    \item
    % Questions
    \begin{questions}
      \item Justifier que la fonction $ x \mapsto \dfrac1{x+1} $ a pour primitive sur $ ]-1\ ;\ +\infty[ $ la fonction $ x \mapsto \ln(x+1) $.\\
      On admettra que la dérivée d'une fonction sous la forme $ \ln(u) $ est $ \dfrac{u'}{u} $.
      \item Calculer $ \int_{1}^{e} \dfrac1{1+x}\; dx $.
    \end{questions}
    \item Démontrer que pour tout $ x > 0 $, $ \dfrac1{x(x+1)} = \dfrac1{x}-\dfrac1{x+1}$
    \item En déduire la valeur de $ \int_{1}^{e} \dfrac1{x(x+1)}\; dx $.
  \end{questions}
\end{application}

\medskip

\begin{propriete}[valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle]
  % \underline{\textbf{Graphiquement :}}
  \begin{center}
    \begin{tabular}{l c r}
      \begin{minipage}{.4\textwidth}
        \noindent
        On appelle valeur moyenne de $ f $ sur $ I $ le nombre réel:
        \[
          m = \dfrac1{b-a}\, \int_{a}^{b} f(x)\, dx
        \]\\
        
        \noindent
        L'aire sous la courbe représentative de $ f $ (en rouge ci-contre) est égale à l'aire sous la droite d'équation $ y = m $ (en bleu).
      \end{minipage}
      &
      \hspace{.5cm}
      &
      \begin{minipage}{.7\textwidth}
        \includegraphics[scale=.5]{fig6.pdf}
      \end{minipage}
    \end{tabular}
  \end{center}
\end{propriete}

\medbreak