cours/bts/bts2e/fonction variable reelle/sequence 1 - etude de fonction: rappels derivation et limites/cours - etude de fonction - 2023_1/prof - etude de fonction - 2023_1/partieI.tex

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\partie{Rappels : dérivation}

\sspartie{Nombre dérivé, tangente}

\noindent
\begin{multicols}{2}
  \noindent
  On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$, sa courbe représentative $\ronde{C}_f$ dans un repère orthogonal, et un réel $a$ dans $I$.

  Si $\ronde{C}_f$ admet une tangente $\mathsf{T}$ au point d'abscisse $a$ non parallèle à l'axe des abscisses, on dit que $f$ est dérivable en $a$.

  Le coefficient directeur de la tangente $\mathsf{T}$ au point $a$ est le nombre dérivé $f^{\prime}(a)$.\\\\
  \columnbreak
  
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=.6]{fig1.pdf}
  \end{center}
\end{multicols}

\medskip

\begin{propriete}[équation de la tangente]
  La tangente $\mathsf{T}$ à $\ronde{C}_f$ au point de coordonnées $\coord{a, f(a)}$ a pour équation $y = f^{\prime}(a)(x - a) + f(a)$.
\end{propriete}

\sspartie{Fonction dérivée et dérivées usuelles}

\noindent
On dit que la fonction \textbf{$\boldsymbol{f}$ est dérivable sur l'intervalle $I$} si elle est dérivable en tout point $a$ de $I$.\\
  
\noindent
La \textbf{fonction dérivée de $\boldsymbol{f}$} est notée $f^{\prime}$ et correspond à la fonction qui à tout réel $x$ de $I$, associe le nombre $f^{\prime}(x)$.

\medskip

\ssspartie{Dérivées des fonctions usuelles}

\begin{center}
  \begin{tabularx}{.7\textwidth}{| C{4.5cm} | >{\centering\arraybackslash}X | C{4.5cm} |}
    \hline
    \textbf{\small$ \boldsymbol{f(x)} $} & \textbf{\footnotesize est dérivable sur ...}\vspace{.2em} & \textbf{\small$ \boldsymbol{f^{\prime}(x)} $} \\ 
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex} $ k $ (constante) & $ \mathbb{R} $ & \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$ 0 \vspace{1ex}$ \\
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$ x $ & $ \mathbb{R} $ & \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$ 1 \vspace{1ex}$ \\
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$ x^n $ où $ n \ge 1 $ & $ \mathbb{R} $& \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$ nx^{n-1} $\vspace{1ex} \\
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$ \dfrac{1}{x} $ & $ \mathbb{R}^{*} $& \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$ -\dfrac{1}{x^2} $\vspace{1ex} \\
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$ \sqrt{x} $ & $ ]0\; ;\; +\infty[ $ & \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$ \dfrac{1}{2\sqrt{x}} $\vspace{1ex} \\
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$ \ln x $ & $]0\ ;\ +\infty[$ & \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$\dfrac1{x}$\vspace{1ex} \\
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$ \e^{x} $ & $\R$ & \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$\e^{x}$\vspace{1ex} \\
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$ \cos x $ & $\R$ & \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$-\sin x$\vspace{1ex} \\
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$ \sin x $ & $\R$ & \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$\cos x$\vspace{1ex} \\
    \hline
  \end{tabularx}
\end{center}

\ssspartie{Opérations sur les fonctions dérivées}

\noindent
On considère $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ de $\R$.
\begin{center}
  \begin{tabularx}{.7\textwidth}{| C{4.5cm} | >{\centering\arraybackslash}X | C{4.5cm} |}
    \hline
    \textbf{$ \boldsymbol{f} $} & \textbf{\footnotesize est dérivable ...}\vspace{.2em} & \textbf{$ \boldsymbol{f^{\prime}} $} \\ 
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$ k \times u $ ($k$ constante)& sur $I$ & \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$ k \times u' $\vspace{1ex} \\
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$ u + v $ & sur $I$ & \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$ u' + v' $\vspace{1ex} \\
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$ u \times v $ & sur $I$ & \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$ u' \times v + u \times v' $\vspace{1ex} \\
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$ \dfrac{u}{v} $ & si $v(x) \neq 0$ & \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$ \dfrac{u' \times v - u \times v'}{v^2} \vspace{1ex}$ \\
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$ \dfrac{1}{v} $ & si $v(x) \neq 0$ & \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$ \dfrac{-v'}{v^2} \vspace{1ex}$ \\
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$ u^n $ avec $n \ge 1$ & sur $I$ & \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$ n \times u^{\prime} \times u^{n-1} \vspace{1ex}$ \\
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$ \ln(u) $ & si $u(x) > 0$ & \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$ \dfrac{u^{\prime}}{u} $\vspace{1ex} \\
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$ \e^{u} $ & sur $I$ & \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$ u^{\prime} \times \e^{u} $\vspace{1ex} \\
    \hline
  \end{tabularx}
\end{center}