cours/bts/bts2e/fonction variable reelle/sequence 1 - etude de fonction: rappels derivation et limites/cours - etude de fonction - 2023_1/prof - etude de fonction - 2023_1/partieII.tex

% !TeX root = prof_-_etude_de_fonction_-_2023_1.tex

\partie{Rappels : limites et asymptotes}

\sspartie{Limites des fonctions de références}

\ssspartie{Limite en $\boldsymbol{\infty}$}

\begin{center}
	% \resizebox{\textwidth}{!}{%
	\begin{tabular}{|>{\columncolor[HTML]{B5B5B5}}c|c|c|c|c|c|c|c|}
		\hline
		\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$f(x)$                             & $x^n$       & $\dfrac1{x^n}$ & $\sqrt{x}$  & $\dfrac1{\sqrt{x}}$ & $e^{x}$   & $e^{ax}$ & $\ln(x)$ \\[2ex] \hline
		\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=$ & $+\infty$   & $0$            & $+\infty$   & $0$                 & $+\infty$ &
		\begin{tabular}{lr}
			$+\infty$ & si $a>0$ \\
			$0$       & si $a<0$
		\end{tabular}                                   & $+\infty$                                                                                                    \\ \hline
		\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=$
		                                                          &
		\begin{tabular}{lr}
			$-\infty$ & si $n$ impair \\
			$+\infty$ & si $n$ pair
		\end{tabular}
		                                                          & $0$         & non définie    & non définie & $0$                 &
		\begin{tabular}{lr}
			$0$       & si $a>0$ \\
			$+\infty$ & si $a<0$
		\end{tabular}                                   & non définie                                                                                                  \\ \hline
	\end{tabular}%
	% }
\end{center}

\vspace{-.2cm}

\ssspartie{Limite en $\boldsymbol{0}$}

\begin{center}
	% \resizebox{\textwidth}{!}{%
	\begin{tabular}{|>{\columncolor[HTML]{B5B5B5}} c|c|c|c|}
		\hline
		\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$f(x)$ & $\dfrac1{x^n}$ & $\dfrac1{\sqrt{x}}$ & $\ln(x)$ \\[2ex] \hline
		\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$\lim\limits_{\substack{x \to 0                          \\ x > 0}}f(x)=$   & $+\infty$           & $+\infty$       & $-\infty$    \\[2ex] \hline
		\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$\lim\limits_{\substack{x \to 0                          \\ x < 0}}f(x)=$
		                              &
		\begin{tabular}{lr}
			$-\infty$ & si $n$ impair \\
			$+\infty$ & si $n$ pair
		\end{tabular}
		                              & non définie    & non définie                    \\ \hline
	\end{tabular}%
	% }
\end{center}

\vspace{-.2cm}

\ssspartie{Opérations sur les limites}

\begin{tasks}[style=itemize](4)
	\task $ f $ et $ g $ sont deux fonctions ;
	\task $A$ est soit $+\infty$, soit $-\infty$ ou un réel ;
	\task \textsf{\textbf{F. I.}} : Forme indéterminée ;
	\task \textup{*} : règle des signes.
\end{tasks}

\begin{multicols}{2}
	~
	\vspace{-1.3cm}
	\begin{center}
		% \resizebox{\textwidth}{!}{%
		\begin{tabular}{|>{\columncolor[HTML]{FFFFFF}}c |c|c|c|c|c|>{\columncolor[HTML]{EFEFEF}}c|}
			\hline
			Si $\lim\limits_{x \to A}f(x)=$         & $\ell$         & $\ell$    & $\ell$    & $+\infty$ & $-\infty$ & {$+\infty$}              \\
			\hline
			Si $\lim\limits_{x \to A}g(x)=$         & $\ell'$        & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & {$-\infty$}              \\
			\hline
			alors $\lim\limits_{x \to A}f(x)+g(x)=$ & $\ell + \ell'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & {\textsf{\textbf{F. I}}} \\
			\hline
		\end{tabular}%
		% }
	\end{center}

	\columnbreak

	\begin{center}
		% \resizebox{\textwidth}{!}{%
		\begin{tabular}{|>{\columncolor[HTML]{FFFFFF}}c |c|c|>{\columncolor[HTML]{EFEFEF}}c|c|}
			\hline
			Si $\lim\limits_{x \to A}f(x)=$                & $\ell$              & $\ell \neq0 $ & {$0$}                     & $\infty$     \\
			\hline
			Si $\lim\limits_{x \to A}g(x)=$                & $\ell'$             & $\infty$      & {$\infty$}                & $\infty$     \\
			\hline
			alors $\lim\limits_{x \to A}f(x) \times g(x)=$ & $\ell \times \ell'$ & $\infty^{*}$  & {\textsf{\textbf{F. I.}}} & $\infty^{*}$ \\
			\hline
		\end{tabular}%
		% }
	\end{center}
\end{multicols}

\begin{center}
	% \resizebox{\textwidth}{!}{%
	\begin{tabular}{|>{\columncolor[HTML]{FFFFFF}}c |c|c|>{\columncolor[HTML]{EFEFEF}}c|c|c|>{\columncolor[HTML]{EFEFEF}}c|}
		\hline
		Si $\lim\limits_{x \to A}f(x)=$                  & $\ell$                & $\ell \neq 0$ & {$0$}                     & $\ell$   & $\infty$     & {$\infty$}                \\
		\hline
		Si $\lim\limits_{x \to A}g(x)=$                  & $\ell' \neq 0$        & $0$           & {$0$}                     & $\infty$ & $\ell'$      & {$\infty$}                \\
		\hline
		alors $\lim\limits_{x \to A}\dfrac{f(x)}{g(x)}=$ & $\dfrac{\ell}{\ell'}$ & $\infty^{*}$  & {\textsf{\textbf{F. I.}}} & $0$      & $\infty^{*}$ & {\textsf{\textbf{F. I.}}} \\
		\hline
	\end{tabular}%
	% }
\end{center}

\sspartie{Comportement asymptotique}

\noindent
On considère une fonction $f$, sa courbe $\ronde{C}_f$, $a$ et $\ell$ des nombres réels.

\vspace{.4cm}

\begin{definition}[existence d'asymptote horizontale]
	\bi
	\item	Lorsque $ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell $, on dit que la courbe $\ronde{C}_f$ admet la droite d'équation $y=\ell$ comme asymptote horizontale en $+\infty$.
	\item	Lorsque $ \lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty $, on dit que la courbe $\ronde{C}_f$ admet la droite d'équation $x=a$ comme asymptote verticale.
	\item	Lorsque $ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) - (mx+p)= \ell $, on dit que la courbe $\ronde{C}_f$ admet la droite d'équation $y=mx+p$ comme asymptote oblique en $+\infty$.
	\ei
\end{definition}

\vspace{.2cm}

\noindent
On retrouve les même situations lorsque $x$ tend vers $-\infty$.

\vspace{.4cm}

% exemple
\begin{exemple}
	\begin{center}
		\begin{tabular}{ccc}
			\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex} $f(x) = \ln(x+1)$                        & \hspace{.2cm} & $g(x) = \dfrac{2}{x-3}+5$                                           \\
			\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex} \includegraphics[scale=.8]{fig4.pdf}     & \hspace{.2cm} & \includegraphics[scale=1.25]{fig5.pdf}                              \\
			\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex} la droite $x=-1$ est asymptote verticale & \hspace{.2cm} & les droites $y=5$ et $x=3$ sont asymptotes horizontale et verticale \\
		\end{tabular}
	\end{center}
	~\vspace{.4cm}
	\begin{center}
		\begin{tabular}{ccc}
			\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex} \hspace{.2cm} & $h(x) = \dfrac{x^2-3x+1}{x}$            & \hspace{.2cm} \\
			\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex} \hspace{.2cm} & \includegraphics[scale=.8]{fig6.pdf}    & \hspace{.2cm} \\
			\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex} \hspace{.2cm} & la droite $y=x-3$ est asymptote oblique & \hspace{.2cm} \\
		\end{tabular}
	\end{center}
\end{exemple}