add firts sequence
This commit is contained in:
parent
8b95405d5d
commit
b1958f1630
@ -0,0 +1,123 @@
|
||||
// préambule asymptote
|
||||
usepackage("amsmath,amssymb");
|
||||
usepackage("inputenc","utf8");
|
||||
usepackage("icomma");
|
||||
|
||||
import lib_jl;
|
||||
// code figure
|
||||
real treeNodeStep = 0.3cm;
|
||||
real treeLevelStep = 2.2cm;
|
||||
real treeMinNodeHeight = 0.6cm;
|
||||
struct TreeNode
|
||||
{
|
||||
TreeNode parent;
|
||||
TreeNode[] children;
|
||||
frame content;
|
||||
string prob;
|
||||
pair pos;
|
||||
real adjust;
|
||||
bool labelpos;
|
||||
}
|
||||
|
||||
void add( TreeNode child, TreeNode parent )
|
||||
{
|
||||
child.parent = parent;
|
||||
parent.children.push( child );
|
||||
}
|
||||
|
||||
TreeNode makeNode( TreeNode parent = null, frame f, string p, bool l )
|
||||
{
|
||||
TreeNode child = new TreeNode;
|
||||
child.content = f;
|
||||
child.prob = p;
|
||||
child.labelpos=l;
|
||||
if( parent != null ) {add( child, parent );}
|
||||
return child;
|
||||
}
|
||||
|
||||
TreeNode makeNode( TreeNode parent = null, Label label, string p, bool l )
|
||||
{
|
||||
frame f;
|
||||
label(f,label);
|
||||
return makeNode( parent, f,p,l );
|
||||
}
|
||||
|
||||
real layout( int level, TreeNode node )
|
||||
{
|
||||
real maxp=0;
|
||||
real minp=1e10;
|
||||
if( node.children.length > 0 )
|
||||
{
|
||||
real height[] = new real[node.children.length];
|
||||
real curHeight = 0;
|
||||
for( int i=node.children.length-1;i>=0; --i )
|
||||
{
|
||||
height[i] = layout( level+1, node.children[i] );
|
||||
node.children[i].pos = (level*treeLevelStep,curHeight + height[i]/2);
|
||||
maxp=max(maxp,node.children[i].pos.y);
|
||||
minp=min(minp,node.children[i].pos.y);
|
||||
curHeight += height[i] + treeNodeStep;
|
||||
}
|
||||
real midPoint=(maxp+minp)/2;
|
||||
for( int i=node.children.length-1;i>=0; --i )
|
||||
{
|
||||
node.children[i].adjust = - midPoint;
|
||||
}
|
||||
return max( (max(node.content)-min(node.content)).y,sum(height)+treeNodeStep*(height.length-1) );
|
||||
}
|
||||
else {return max( treeMinNodeHeight, (max(node.content)-min(node.content)).y );}
|
||||
}
|
||||
|
||||
void drawAll( TreeNode node, frame f )
|
||||
{
|
||||
pair pos;
|
||||
if( node.parent != null ) pos = (0,node.parent.pos.y+node.adjust);
|
||||
else pos = (0,node.adjust);
|
||||
node.pos += pos;
|
||||
node.content = shift(node.pos)*node.content;
|
||||
add( f, node.content );
|
||||
string proba=node.prob;
|
||||
bool arrow=(find(proba,"@",0)!=-1);
|
||||
if (arrow) proba=replace(proba,"@","");
|
||||
if( node.parent != null )
|
||||
{
|
||||
path p = point(node.content, W)--point(node.parent.content,E);
|
||||
if (arrow) draw(p, currentpen,BeginArrow(2mm) );
|
||||
else draw(p, currentpen);
|
||||
if( node.prob != "" )
|
||||
{
|
||||
if (node.labelpos) draw(Label(scale(.5)*proba),p,N);
|
||||
else draw(Label(scale(.5)*proba),p,S);
|
||||
}
|
||||
else
|
||||
{
|
||||
if (arrow) draw(p, currentpen,BeginArrow(2mm) );
|
||||
else draw(p, currentpen);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
for( int i = 0; i < node.children.length; ++i ) drawAll( node.children[i], f );
|
||||
}
|
||||
|
||||
void draw( TreeNode root, pair pos )
|
||||
{
|
||||
frame f;
|
||||
root.pos = (0,0);
|
||||
layout( 1, root );
|
||||
drawAll( root, f );
|
||||
add(f,pos);
|
||||
}
|
||||
TreeNode root = makeNode("","",true);
|
||||
TreeNode noeud1=makeNode(root,"$L$","$P(L)$",true);
|
||||
TreeNode noeud5=makeNode(noeud1,"$F$","$P_L(F)$",true);
|
||||
TreeNode noeud6=makeNode(noeud1,"$G$","$P_L(G)$",false);
|
||||
TreeNode noeud2=makeNode(root,"$E$","$P(E)$",true);
|
||||
TreeNode noeud7=makeNode(noeud2,"$F$","$P_E(F)$",true);
|
||||
TreeNode noeud8=makeNode(noeud2,"$G$","$P_E(G)$",false);
|
||||
TreeNode noeud3=makeNode(root,"$S$","$P(S)$",false);
|
||||
TreeNode noeud9=makeNode(noeud3,"$F$","$P_S(F)$",true);
|
||||
TreeNode noeud10=makeNode(noeud3,"$G$","$P_S(G)$",false);
|
||||
draw(root,(0,0));
|
||||
|
||||
transform t=shift(1cm,0);
|
||||
label("$p(R_n\cap R_{n+1})=\dots$",t*noeud2,align=E);
|
||||
label("$p(\overline{R_n}\cap R_{n+1})=\dots$",t*noeud3,align=E);
|
||||
@ -0,0 +1,15 @@
|
||||
<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
|
||||
<Arbre>
|
||||
<item code="P(L);L">
|
||||
<item code="P_L(F);F"/>
|
||||
<item code="P_L(G);G"/>
|
||||
</item>
|
||||
<item code="P(E);E">
|
||||
<item code="P_E(F);F"/>
|
||||
<item code="P_E(G);G"/>
|
||||
</item>
|
||||
<item code="P(S);S">
|
||||
<item code="P_S(F);F"/>
|
||||
<item code="P_S(G);G"/>
|
||||
</item>
|
||||
</Arbre>
|
||||
Binary file not shown.
@ -0,0 +1,91 @@
|
||||
%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
|
||||
\begin{center}
|
||||
% Racine à Gauche, développement vers la droite
|
||||
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
|
||||
% Styles (MODIFIABLES)
|
||||
\tikzstyle{branche}=[-,>=latex,thick]
|
||||
\tikzstyle{racine}=[fill=white,circle]
|
||||
\tikzstyle{noeud}=[]
|
||||
\tikzstyle{feuille}=[]
|
||||
\tikzstyle{texte1}=[]
|
||||
\tikzstyle{texte2}=[]
|
||||
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white]
|
||||
\tikzstyle{titre}=[fill=white,text width=3cm,text badly centered,font=\small\itshape]
|
||||
\tikzstyle{separateur}=[-,dotted]
|
||||
% Dimensions (MODIFIABLES)
|
||||
\def\DistanceInterNiveaux{3}
|
||||
\def\DistanceInterFeuilles{2}
|
||||
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
|
||||
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
|
||||
\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
|
||||
\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
|
||||
\def\NiveauD{(2.75)*\DistanceInterNiveaux}
|
||||
\def\NiveauE{(4.25)*\DistanceInterNiveaux}
|
||||
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
|
||||
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
|
||||
\node[racine] (R) at ({\NiveauA},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$$};
|
||||
|
||||
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$L$};
|
||||
\node[noeud] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$F$};
|
||||
\node[feuille] (Raaa) at ({\NiveauD},{(0)*\InterFeuilles}) {$ L \cap F $};
|
||||
\node[texte1] at ({\NiveauE},{(0)*\InterFeuilles}) {$ P(L \cap F) = P(L) \times P_L(F) $};
|
||||
\node[noeud] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$G$};
|
||||
\node[feuille] (Raba) at ({\NiveauD},{(1)*\InterFeuilles}) {$ L \cap G $};
|
||||
\node[texte1] at ({\NiveauE},{(1)*\InterFeuilles}) {$ P(L \cap G) = P(L) \times P_L(G) $};
|
||||
|
||||
% \node[texte2] at ({\NiveauE},{(1.5)*\InterFeuilles}) {$ P(F) = P(L \cap F) + P(E \cap F) + P(S \cap F) $};
|
||||
|
||||
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$E$};
|
||||
\node[noeud] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$F$};
|
||||
\node[feuille] (Rbaa) at ({\NiveauD},{(2)*\InterFeuilles}) {$ E \cap F $};
|
||||
\node[texte1] at ({\NiveauE},{(2)*\InterFeuilles}) {$ P(E \cap F) = P(E) \times P_E(F) $};
|
||||
\node[noeud] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$G$};
|
||||
\node[feuille] (Rbba) at ({\NiveauD},{(3)*\InterFeuilles}) {$ E \cap G $};
|
||||
\node[texte1] at ({\NiveauE},{(3)*\InterFeuilles}) {$ P(E \cap G) = P(E) \times P_E(G) $};
|
||||
|
||||
% \node[texte2] at ({\NiveauE},{(3.5)*\InterFeuilles}) {$ P(G) = P(L \cap G) + P(E \cap G) + P(S \cap G) $};
|
||||
|
||||
\node[noeud] (Rc) at ({\NiveauB},{(4.5)*\InterFeuilles}) {$S$};
|
||||
\node[noeud] (Rca) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$F$};
|
||||
\node[feuille] (Rcaa) at ({\NiveauD},{(4)*\InterFeuilles}) {$ S \cap F $};
|
||||
\node[texte1] at ({\NiveauE},{(4)*\InterFeuilles}) {$ P(S \cap F) = P(S) \times P_S(F) $};
|
||||
\node[noeud] (Rcb) at ({\NiveauC},{(5)*\InterFeuilles}) {$G$};
|
||||
\node[feuille] (Rcba) at ({\NiveauD},{(5)*\InterFeuilles}) {$ S \cap G $};
|
||||
\node[texte1] at ({\NiveauE},{(5)*\InterFeuilles}) {$ P(S \cap G) = P(S) \times P_S(G) $};
|
||||
|
||||
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
|
||||
\draw[branche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$P(L)$};
|
||||
\draw[branche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$P_L(F)$};
|
||||
\draw[branche] (Raa)--(Raaa) node[] {};
|
||||
\draw[branche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$P_L(G)$};
|
||||
\draw[branche] (Rab)--(Raba) node[] {};
|
||||
|
||||
\draw[branche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$P(E)$};
|
||||
\draw[branche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] {$P_E(F)$};
|
||||
\draw[branche] (Rba)--(Rbaa) node[] {};
|
||||
\draw[branche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$P_E(G)$};
|
||||
\draw[branche] (Rbb)--(Rbba) node[] {};
|
||||
|
||||
\draw[branche] (R)--(Rc) node[etiquette] {$P(S)$};
|
||||
\draw[branche] (Rc)--(Rca) node[etiquette] {$P_S(F)$};
|
||||
\draw[branche] (Rca)--(Rcaa) node[] {};
|
||||
\draw[branche] (Rc)--(Rcb) node[etiquette] {$P_S(G)$};
|
||||
\draw[branche] (Rcb)--(Rcba) node[] {};
|
||||
% Titres
|
||||
\node[titre] (t1) at ({(\NiveauB+\NiveauA)/2},{(-.5)*\InterFeuilles}) {};
|
||||
\node[titre] (t2) at ({(\NiveauC+\NiveauB)/2},{(-.5)*\InterFeuilles}) {};
|
||||
\node[titre] (t3) at ({(\NiveauD},{(-.5)*\InterFeuilles}) {};
|
||||
\node[titre] (t4) at ({(\NiveauE},{(-.5)*\InterFeuilles}) {};
|
||||
% Séparateurs
|
||||
% \coordinate[shift={(.1cm,0)}] (s11) at (t1.east) {};
|
||||
% \coordinate[shift={(.1cm,-11.5cm)}] (s12) at (t1.east) {};
|
||||
% \coordinate[shift={(.3cm,0)}] (s21) at (t2.east) {};
|
||||
% \coordinate[shift={(.3cm,-11.5cm)}] (s22) at (t2.east) {};
|
||||
\coordinate[shift={(0cm,0)}] (s31) at (t3.east) {};
|
||||
\coordinate[shift={(0cm,-11.5cm)}] (s32) at (t3.east) {};
|
||||
% \draw[separateur] (s11) -- (s12);
|
||||
% \draw[separateur] (s21) -- (s22);
|
||||
\draw[separateur] (s31) -- (s32);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
%:-+-+-+-+- Fin
|
||||
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 268 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 54 KiB |
Binary file not shown.
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 38 KiB |
Binary file not shown.
@ -0,0 +1 @@
|
||||
../images/
|
||||
@ -0,0 +1,65 @@
|
||||
% !TeX root = prof_-_probabilites_conditonnelles_-_2021_1.tex
|
||||
|
||||
\partie{Probabilité conditionnelle}
|
||||
|
||||
% Définition
|
||||
\begin{definition}[probabilité conditionnelle]
|
||||
\noindent
|
||||
$ A $ est un événement tel que $ P(A) \neq 0 $.\\~\\
|
||||
On appelle probabilité conditionnelle de $ B $ sachant $ A $, la probabilité que l'événement $ B $ se réalise sachant que l'événement $ A $ est réalisé.
|
||||
Elle est notée $ P_A(B) $ et est définie par :
|
||||
\[
|
||||
P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}
|
||||
\]
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
% Remarque
|
||||
\begin{remarque}
|
||||
\bi
|
||||
\item Si $ B $ est tel que $ P(B) \neq 0 $, on a également $ P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} $ ;
|
||||
\item La probabilité conditionnelle est une probabilité, elle admet donc les mêmes propriétés que les probabilités <<simples>>. En particulier :
|
||||
\ei
|
||||
\end{remarque}
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
% Propriete
|
||||
\begin{propriete}[]
|
||||
\bi
|
||||
\item $ 0 \leq P_A(B) \leq 1 $
|
||||
\item $ P_A(\overline{B}) = 1 - P_A(B) $
|
||||
\item $ P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) $
|
||||
\ei
|
||||
\end{propriete}
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
% Application
|
||||
\begin{application}
|
||||
La répartition des élèves de Terminale d'un lycée en 2017 est telle que : \SI{30}{\percent} des élèves sont en ES, \SI{50}{\percent} en S et le reste en L. \SI{15}{\percent} des élèves du lycée sont des filles de L. Parmi les élèves de ES, \SI{62}{\percent} sont des filles et parmi les élèves de S, \SI{54}{\percent} sont des garçons.\\
|
||||
On sélectionne au hasard un élève de Terminale et on note les événements suivants :
|
||||
\begin{tasks}(2)
|
||||
\task $ L:\ \text{<< l'élève est dans la section L >>} $ ;
|
||||
\task $ E:\ \text{<< l'élève est dans la section ES >>} $ ;
|
||||
\task $ S:\ \text{<< l'élève est dans la section S >>} $ ;
|
||||
\task $ F:\ \text{<< l'élève est une fille >>} $.
|
||||
% \task $ G:\ \text{<< l'élève est un garçon >>} $.
|
||||
\end{tasks}
|
||||
Déterminer :
|
||||
\begin{tasks}(7)
|
||||
\task $ P(E) $
|
||||
\task $ P(S) $
|
||||
\task $ P(L) $
|
||||
\task $ P(L \cap F) $
|
||||
\task $ P_E(F) $
|
||||
\task $ P_S(G) $
|
||||
\task $ P_L(F) $
|
||||
\end{tasks}
|
||||
% \pskip{1}
|
||||
% \bi
|
||||
% \item $ P(E) = 0,30\ ;\ P(S) = 0,50\ \text{et}\ P(L) = 1 - P(E) - P(S) = 1 - 0,30 - 0,50 = 0,20 $.
|
||||
% \item $ P(L \cap F) = 0,15\ ;\ P_E(F) = 0,62\ \text{et}\ P_S(G) = 0,54 $.
|
||||
% \item $ P_L(F) = \dfrac{P(L \cap F)}{P(L)} = \dfrac{0,15}{0,20} = 0,75 $.
|
||||
% \ei
|
||||
\end{application}
|
||||
|
||||
@ -0,0 +1,142 @@
|
||||
% !TeX root = prof_-_probabilites_conditonnelles_-_2021_1.tex
|
||||
|
||||
\partie{Probabilités totales}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[partition de l'univers]
|
||||
\begin{tabular}{l r}
|
||||
% \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}
|
||||
\begin{minipage}{.7\textwidth}
|
||||
\noindent
|
||||
On considère un événement $A$ et $n$ événements non vides $A_1, A_2, \dots, A_n$ tels que:\\
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item pour tout $i$ et $j$ entiers compris entre $1$ et $n$, avec $i \neq j$, $A_i \cap A_j = \emptyset$;
|
||||
\item $A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_{n-1} \cup A_n = A$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent
|
||||
On dit alors que les événements $\left( A_k \right)_{1 \le k \le n}$ forment une partition de $A$.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
&
|
||||
\begin{minipage}{.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[xscale=.75,yscale=.75]
|
||||
\newcommand{\cercleA}{(0,0) circle (2cm)}
|
||||
\newcommand{\carreO}{(-2.5,2.5) rectangle (2.5,-2.5)}
|
||||
|
||||
\draw[color=black,fill=white,thick] \carreO;
|
||||
|
||||
\draw[color=black,fill=white,thick] \cercleA;
|
||||
\draw[color=black] (-1.74,1) -- (1.74,1);
|
||||
\draw[color=black] (-2,0) -- (2,0);
|
||||
\draw[color=black] (-1.74,-1) -- (1.74,-1);
|
||||
|
||||
% \draw[pattern=north west lines] (.75,0) ellipse (.5cm and 1.5cm);
|
||||
|
||||
\node[circle] at (0,1.5) {\footnotesize$A_1$};
|
||||
\node[circle] at (0,.5) {\footnotesize$A_2$};
|
||||
\node[circle] at (0,-.5) {\footnotesize$\dots$};
|
||||
\node[circle] at (0,-1.5) {\footnotesize$A_n$};
|
||||
% \node[draw=none,fill=white,inner sep=0pt,minimum size=1em] at (.75,0) {\footnotesize$E$};
|
||||
|
||||
\draw[color=black] (1.5,1.3) -- ++(.25,.25) node[] at ++(.2,.2) {$A$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
\begin{propriete}[probabilités totales]
|
||||
\begin{tabular}{l r}
|
||||
% \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}
|
||||
\begin{minipage}{.8\textwidth}
|
||||
\noindent
|
||||
Soit les événements $A_1, A_2, \dots, A_n$ de probabilités non nulles et formant une partition de $\Omega$.\\
|
||||
Alors la probabilité de l'événement $E$ est donnée par:\\
|
||||
|
||||
$\begin{array}{r c l}
|
||||
P(E) & = & P(E \cap A_1) +P(E \cap A_2) + \dots + P(E \cap A_n)\\
|
||||
P(E) & = & P(A_1) \times P_{A_0}(E) + P(A_2) \times P_{A_2}(E) + \dots + P(A_n) \times P_{A_n}(E)
|
||||
\end{array}$
|
||||
\end{minipage}
|
||||
&
|
||||
\begin{minipage}{.2\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[xscale=.75,yscale=.75]
|
||||
\newcommand{\cercleA}{(0,0) circle (2cm)}
|
||||
\draw[color=black,fill=white,thick] \cercleA;
|
||||
\draw[color=black] (-1.74,1) -- (1.74,1);
|
||||
\draw[color=black] (-2,0) -- (2,0);
|
||||
\draw[color=black] (-1.74,-1) -- (1.74,-1);
|
||||
|
||||
\draw[pattern=north west lines] (.75,0) ellipse (.5cm and 1.5cm);
|
||||
|
||||
\node[circle] at (-.75,1.5) {\footnotesize$A$};
|
||||
\node[circle] at (-.75,.5) {\footnotesize$B$};
|
||||
\node[circle] at (-.75,-.5) {\footnotesize$C$};
|
||||
\node[circle] at (-.75,-1.5) {\footnotesize$D$};
|
||||
\node[draw=none,fill=white,inner sep=0pt,minimum size=1em] at (.75,0) {\footnotesize$E$};
|
||||
|
||||
\draw[color=black] (1.5,1.3) -- ++(.25,.25) node[] at ++(.2,.2) {$\Omega$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{propriete}
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
\begin{propriete}[cas particuliers des événements contraires]
|
||||
\begin{tabular}{l r}
|
||||
% \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}
|
||||
\begin{minipage}{.8\textwidth}
|
||||
\noindent
|
||||
Les événements $A$ et $\barre{A}$ formant une partition de $\Omega$, on a:\\
|
||||
|
||||
\noindent
|
||||
$\begin{array}{r c l}
|
||||
P(B) & = & P(B \cap A) + P(B \cap \barre{A})\\
|
||||
P(B) & = & P(A) \times P_{A}(B) + P(\barre{A}) \times P_{\barre{A}}(B)
|
||||
\end{array}$
|
||||
\end{minipage}
|
||||
&
|
||||
\begin{minipage}{.2\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[xscale=.75,yscale=.75]
|
||||
\newcommand{\cercleA}{(0,0) circle (2cm)}
|
||||
\draw[color=black,fill=white,thick] \cercleA;
|
||||
% \draw[color=black] (-1.74,1) -- (1.74,1);
|
||||
\draw[color=black] (-2,0) -- (2,0);
|
||||
% \draw[color=black] (-1.74,-1) -- (1.74,-1);
|
||||
|
||||
\draw[pattern=north west lines] (.75,0) ellipse (.5cm and 1.5cm);
|
||||
|
||||
% \node[circle] at (-.75,1.5) {\footnotesize$A$};
|
||||
\node[circle] at (-.75,1) {\footnotesize$A$};
|
||||
% \node[circle] at (-.75,-.5) {\footnotesize$C$};
|
||||
\node[circle] at (-.75,-1) {\footnotesize$\barre{A}$};
|
||||
\node[draw=none,fill=white,inner sep=0pt,minimum size=1em] at (.75,0) {\footnotesize$B$};
|
||||
|
||||
\draw[color=black] (1.5,1.3) -- ++(.25,.25) node[] at ++(.2,.2) {$\Omega$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{propriete}
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
% Application
|
||||
\begin{application}[utiliser les probabilités totales]
|
||||
\small
|
||||
Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.\\
|
||||
Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont \SI{2}{\percent} est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants :
|
||||
\bi
|
||||
\item si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans \SI{85}{\percent} des cas ;
|
||||
\item si un animal est sain, le test est négatif dans \SI{95}{\percent} des cas.
|
||||
\ei
|
||||
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour toute la population et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie.\\
|
||||
On note respectivement $ M $ et $ T $ les événements << Être porteur de la maladie >> et << Avoir un test positif >>.
|
||||
% Questions
|
||||
\begin{questions}
|
||||
\item Un animal est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que son test soit positif ?
|
||||
\item Si le test du bovin est positif, quelle est la probabilité qu’il soit malade ?
|
||||
\end{questions}
|
||||
\end{application}
|
||||
|
||||
|
||||
@ -0,0 +1,73 @@
|
||||
% !TeX root = prof_-_probabilites_conditonnelles_-_2021_1.tex
|
||||
|
||||
\newpage
|
||||
|
||||
\partie{Arbre pondéré}
|
||||
|
||||
\sspartie{Exemple}
|
||||
|
||||
\small{À partir des données de l'application de la première partie, on peut construire l'arbre suivant:}
|
||||
\nskip{.4}
|
||||
|
||||
\import{images/}{fig1.tex}
|
||||
|
||||
\nskip{.2}
|
||||
|
||||
\sspartie{Propriétés}
|
||||
|
||||
% Propriete
|
||||
\begin{propriete}[loi des noeuds]
|
||||
La somme des probabilités des branches d'un même nœud est égale à 1.
|
||||
\end{propriete}
|
||||
|
||||
% Exemple
|
||||
\begin{exemple}
|
||||
\bi
|
||||
\item Depuis la racine de l'arbre, on a : $ P(L) + P(E) + P(S) = 0,20 + 0,30 + 0,50 = 1 $;
|
||||
\item Depuis le nœud $ E $, on a : $ P_E(G) = 1 - P_E(F) = 1 - 0,62 = 0,38 $.
|
||||
\ei
|
||||
\end{exemple}
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
% Propriete
|
||||
\begin{propriete}[loi des chemins]
|
||||
La probabilité d'un événement réalisé par un chemin (probabilité d'une << feuille >>) est égale au produit des probabilités rencontrées sur chaque branche parcourue de ce chemin.
|
||||
\end{propriete}
|
||||
|
||||
% Exemple
|
||||
\begin{exemple}
|
||||
\nskip{.05}
|
||||
On considère la feuille $ E \cap F $. On a : $ P(E \cap F) = P(E) \times P_E(F) = 0,30 \times 0,62 = 0,186 $.
|
||||
\end{exemple}
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
% Propriete
|
||||
\begin{propriete}[probabilités totales]
|
||||
La probabilité d'un événement associé à plusieurs << feuilles >> est égale à la somme des probabilités de chacune de ces << feuilles >>.
|
||||
\end{propriete}
|
||||
|
||||
% % Exemple
|
||||
% \begin{exemple}
|
||||
% On choisit au hasard un élève du lycée. Quelle est la probabilité que cet élève soit une fille ?\\~\\
|
||||
% $ P(F) = P(L \cap F) + P(E \cap F) + P(S \cap F) = 0,15 + 0,186 + 0,23 = 0,566 $.% Donc la probabilité de choisir une fille parmi les élèves du lycée est $ 0,566 $.
|
||||
% \end{exemple}
|
||||
|
||||
% % Application
|
||||
% \begin{application}[calculer la probabilité d'un événement associé à plusieurs feuilles]
|
||||
% \small
|
||||
% Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.\\
|
||||
% Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont \SI{2}{\percent} est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants :
|
||||
% \bi
|
||||
% \item si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans \SI{85}{\percent} des cas ;
|
||||
% \item si un animal est sain, le test est négatif dans \SI{95}{\percent} des cas.
|
||||
% \ei
|
||||
% On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour toute la population et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie.\\
|
||||
% On note respectivement $ M $ et $ T $ les événements << Être porteur de la maladie >> et << Avoir un test positif >>.
|
||||
% % Questions
|
||||
% \begin{questions}
|
||||
% \item Un animal est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que son test soit positif ?
|
||||
% \item Si le test du bovin est positif, quelle est la probabilité qu’il soit malade ?
|
||||
% \end{questions}
|
||||
% \end{application}
|
||||
@ -0,0 +1,123 @@
|
||||
% !TeX root = prof_-_probabilites_conditonnelles_-_2021_1.tex
|
||||
|
||||
\newpage
|
||||
|
||||
\partie{Probabilités et indépendance}
|
||||
|
||||
\sspartie{Indépendance de deux événements}
|
||||
|
||||
% Définition
|
||||
\begin{definition}[indépendance]
|
||||
On suppose que les deux événements $ A $ et $ B $ sont de probabilité non nulle.\\~\\
|
||||
$ A $ et $ B $ sont indépendants lorsque $ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
% Propriété
|
||||
\begin{propriete}
|
||||
On suppose que les deux événements $ A $ et $ B $ sont de probabilité non nulle.\\~\\
|
||||
$ A $ et $ B $ indépendants $ \Leftrightarrow $ $ P_A(B) = P(B) $ $ \Leftrightarrow $ $ P_B(A) = P(A) $.
|
||||
\end{propriete}
|
||||
|
||||
% Remarque
|
||||
\begin{remarque}
|
||||
\bi
|
||||
\item $ P_A(B) = P(B) $ signifie que la réalisation ou non de l'événement $ A $ n'a pas d'influence sur la réalisation de l'événement $ B $.
|
||||
\item Ne pas confondre événements incompatibles et indépendants. En effet, $ A $ et $ B $ sont incompatibles lorsque $ P(A \cap B) = 0 $.
|
||||
\ei
|
||||
\end{remarque}
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
% Application
|
||||
\begin{application}[étudier l'indépendance de deux événements]
|
||||
Une urne contient quatre jetons rouges indiscernables au toucher numérotés de 1 à 4, trois jetons verts numérotés de 5 à 7 et un jeton noir numéroté 8.\\~\\
|
||||
On tire au hasard un jeton dans l'urne et on considère les événements :
|
||||
\begin{tasks}[style=itemize](3)
|
||||
\task $ A $ : << obtenir un numéro pair >>
|
||||
\task $ B $ : << obtenir un jeton rouge >>
|
||||
\task $ C $ : << obtenir un jeton vert >>
|
||||
\end{tasks}
|
||||
% Questions
|
||||
\begin{questions}
|
||||
\item Calculer $ P(A) $.
|
||||
\item
|
||||
% Questions
|
||||
\begin{questions}
|
||||
\item Les événements $ A $ et $ B $ sont-ils indépendants ?
|
||||
\item Même question avec les événements $ A $ et $ C $.
|
||||
\end{questions}
|
||||
\item Retrouver les résultats de la question précédente en calculant $ P_B(A) $ et $ P_C(A) $.
|
||||
\end{questions}
|
||||
\end{application}
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
% Propriete
|
||||
\begin{propriete}
|
||||
Si $ A $ et $ B $ sont indépendants alors $ \overline{A} $ et $ B $ sont indépendants.
|
||||
\end{propriete}
|
||||
|
||||
% Démonstration
|
||||
\begin{demonstration}
|
||||
% \white
|
||||
$\begin{array}{rcl}
|
||||
P(\overline{A} \cap B) & = & P(B \cap \overline{A})\\
|
||||
& = & P(B) \times P(\overline{A})\\
|
||||
& = & P(B) \times (1-P_B({A}))\\
|
||||
& = & P(B) \times (1-P({A}))\qquad \text{car } A \text{ et } B \text{ indépendants}\\
|
||||
& = & P(B) \times P(\overline{A}))
|
||||
\end{array}$
|
||||
\end{demonstration}
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
% Exemple
|
||||
\begin{exemple}
|
||||
Lors d'un week-endend prolongé, Bison futé annonce qu'il y a \SI{42}{\percent} de risque de tomber dans un bouchon sur l'autoroute A6 et \SI{63}{\percent} sur l'autoroute A7.\\
|
||||
Soit $ A $ l'événement << On tombe dans un bouchon sur l'autoroute A6. >>\\
|
||||
Soit $ B $ l'événement << On tombe dans un bouchon sur l'autoroute A7. >>\\
|
||||
On suppose que les événements $ A $ et $ B $ sont indépendants.\\~\\
|
||||
Alors les événements $ \overline{A} $ et $ B $ sont également indépendants et on a : $ P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \times P(B) = 0,58 \times $. 0,63 = 0,3654\\~\\
|
||||
On peut interpréter ce résultat :\\
|
||||
La probabilité de tomber dans un bouchon sur l'autoroute A7 mais pas sur l'autoroute A6 est égale à \SI{36,54}{\percent}.
|
||||
\end{exemple}
|
||||
|
||||
\sspartie{Succession de deux épreuves indépendantes}
|
||||
|
||||
% Définition
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Lorsque deux expériences aléatoires se succèdent et que les résultats de la première expérience n'ont aucune influence sur les résultats de la seconde, on dit qu'il s'agit d'une succession de deux épreuves indépendantes.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
% Exemple
|
||||
\begin{exemple}
|
||||
\bi
|
||||
\item On lance un dé plusieurs fois de suite et on note à chaque fois le résultat. On répète ainsi la même expérience (lancer un dé) et les expériences sont indépendantes l'une de l'autre (un lancer n'influence pas le résultat d'un autre lancer).
|
||||
\item Une urne contient 2 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard une boule et on la remet dans l'urne. On répète cette expérience 10 fois de suite. Ces expériences sont identiques et indépendantes.
|
||||
\ei
|
||||
\end{exemple}
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
% Propriete
|
||||
\begin{propriete}[( admise )]
|
||||
Lorsque deux épreuves sont indépendantes, la probabilité d'un couple de résultats est égale au produit des probabilités de chacun d'entre eux.
|
||||
\end{propriete}
|
||||
|
||||
% Exemple
|
||||
\begin{exemple}
|
||||
On lance successivement deux fois un dé cubique non truqué. Il s'agit d'une succession de deux épreuves indépendantes, et la probabilité d'obtenir deux fois le numéro 6 est donnée par : $ \dfrac16 \times \dfrac16 = \dfrac1{36} $.
|
||||
\end{exemple}
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
% Application
|
||||
\begin{application}[représenter et étudier une succession d'expériences identiques et indépendantes]
|
||||
Dans une population, \SI{13}{\percent} des personnes sont gauchères, On interroge au hasard deux individus et on suppose la population suffisamment importante pour considérer ces épreuves indépendantes.
|
||||
% Questions
|
||||
\begin{questions}
|
||||
\item Représenter cette expérience aléatoire par un arbre pondéré.
|
||||
\item Calculer la probabilité que les deux personnes soient gauchères.
|
||||
\item Calculer la probabilité qu'exactement l'une de ces personnes soit gauchères.
|
||||
\end{questions}
|
||||
\end{application}
|
||||
Binary file not shown.
@ -0,0 +1,32 @@
|
||||
% File : /home/jeff/Cours/1ere/generale/probabilites et statistiques/sequence 1 - probabilites conditionnelles/cours - probabilites conditonnelles - 2021.1/prof - probabilites conditonnelles - 2021.1/prof_-_probabilites_conditonnelles_-_2021_1.tex
|
||||
% Author : Jeff Lance <email@jefflance.me>
|
||||
% Date : 21.08.2020 11:56:40
|
||||
% Last Modified Date: 21.08.2023 12:38:26
|
||||
% Last Modified By : Jeff Lance <email@jefflance.me>
|
||||
\documentclass[11pt]{jl-cours}
|
||||
\usepackage{cancel}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\pagenumbering{arabic}
|
||||
|
||||
\titre{\Jd Probabilités conditionnelles\\et\\indépendance}{\Jd Probabilités}
|
||||
\lohead*{1\up{ère}G}
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||||
\rofoot*{\anneescolaire}
|
||||
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||||
\nskip{2}
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||||
Dans tout ce chapitre, $ A $ et $ B $ désignent deux événements d'un même univers $ \Omega $.
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||||
% Probabilité conditionnelle
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||||
\import{.}{partieI.tex}
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||||
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||||
% Arbre pondéré
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||||
\import{.}{partieII.tex}
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||||
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||||
% Probabilités totales
|
||||
\import{.}{partieIII.tex}
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||||
|
||||
% Indépendance de deux événements
|
||||
\import{.}{partieIV.tex}
|
||||
|
||||
\end{document}
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||||
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