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\partie{Primitives}

\noindent
Soit les fonctions $f(x) = 2x^2 + 3x + 5$ et $F(x) = \dfrac23 x^3 + \dfrac32 x^2 + 5x + 3$, définies sur $ \mathbb{R} $.\\

\noindent
Quel lien existe entre ces deux fonctions?

\vspace{2cm}

\hrule

\sspartie{Définitions}

\noindent
Dans cette partie, on considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ de $ \mathbb{R} $.

\vspace{.4cm}

% Définition
\begin{definition}[primitive]
  On dit que $ F $ est une \textbf{primitive} de $ f $ sur $ I $ lorsque $ F $ est dérivable sur $ I $ et $ F'=f $.
\end{definition}

\begin{propriete}[]
  Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une primitive sur cet intervalle.
\end{propriete}

\begin{application}
  \vspace{-.4cm}
  $ f $ est la fonction définie sur $ \R $ par $ f(x) = e^x+2 $.\\
  Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
  \vspace{1cm}
\end{application}

\vspace{.4cm}

\begin{propriete}[primitives d'une même fonction]
  Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante.
  \Cad que si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors la fonction $G_k$ définie sur $I$ par $G_k(x) = F(x) + k$ avec $k \in \mathbb{R}$ est aussi une primitive de $f$.
\end{propriete}

\vspace{.4cm}

\begin{propriete}
  Soit $x_0$ et $y_0$ deux réels de $I$.\\
  Il existe une unique primitive $F$ de $f$ telle que $F(x_0) = y_0$.\\
  Cette valeur s'appelle une condition initiale.
\end{propriete}

\begin{application}[]
  Soit la fonction $f(x) = 5x^3 - 8x^2 + \dfrac54$ définie sur $ R $.
  \begin{questions}
    \item Déterminer l'ensemble des primitives $F_k$, où $k \in \R$ de la fonction $f$.
    \item Déterminer la primitive de la fonction $f$ prenant la valeur $25$ en $3$.
  \end{questions}
\end{application}

\sspartie{Primitives des fonctions usuelles}

\begin{center}
  \small
  \begin{tabularx}{1\textwidth}{| >{\centering\arraybackslash}X | >{\centering\arraybackslash}X | >{\centering\arraybackslash}X |}
    \hline
    \textbf{Fonction $\boldsymbol{f}$} & \textbf{Une primitive $\boldsymbol{F}$} & \textbf{Sur l'intervalle $\boldsymbol{I}$}\\
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$ f(x)=a $, $ a \in \R $ & $ F(x)=ax+C $ & $ \R $\\[2ex]
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{6ex}$ f(x)=x^n $, $ n \in \Z $ et $ n \neq -1 $ & $ F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C $ & $\begin{array}{ccr}\R&\text{ si }n\in\N\\ ]-\infty\ ;\ 0[ \text{ ou } ]0\ ;\ +\infty[&\text{ si }n<0\\\end{array}$\\[3ex]
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{6ex}$ f(x)=\dfrac1{x^2} $ & $ F(x)=-\dfrac1{x} +C $ & $ ]-\infty\ ;\ 0[ $ ou $ ]0\ ;\ +\infty[ $\\[2ex]
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{6ex}$ f(x)=\dfrac1{x} $ & $ F(x)=\ln x +C $ & $ ]0\ ;\ +\infty[ $\\[2ex]
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{6ex}$ f(x)=\dfrac1{\sqrt{x}} $ & $ F(x)=2\sqrt{x} +C $ & $ ]0\ ;\ +\infty[ $\\[4ex]
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$ f(x)=e^{x} $ & $ F(x)=e^x +C$ & $ \R $\\[2ex]
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$ f(x)=\cos{x} $ & $ F(x)=\sin{x} +C$ & $ \R $\\[2ex]
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{5ex}$ f(x)=\sin{x} $ & $ F(x)=-\cos{x} +C$ & $ \R $\\[2ex]
    \hline
  \end{tabularx}
\end{center}

\vspace{.4cm}

\begin{application}[calcul de primitives (1)]
  Calculer les primitives des fonctions suivantes:
  \begin{tasks}(4)[style=enumerate]
    \task $f(x) = x$
    \task $f(x) = x^3$
    \task $f(x) = 3x^5+1$
    \task $f(x) = \sqrt{x}$
    \task $f(x) = \dfrac1{x^2}$
    \task $f(x) = \dfrac1{\sqrt{x}}$
    \task $f(x) = \dfrac{-2}{x^4} + \dfrac1{\sqrt{x}}$
    \task $f(x) = 7\cos x - 2\sin x$
  \end{tasks}
\end{application}

\sspartie{Primitives et composition}

\begin{center}
  \small
  \begin{tabularx}{1\textwidth}{| >{\centering\arraybackslash}X | >{\centering\arraybackslash}X | >{\centering\arraybackslash}X |}
    \hline
    \textbf{Fonction $\boldsymbol{f}$} & \textbf{Une primitive $\boldsymbol{F}$ sur $\boldsymbol{I}$} & \textbf{Condition sur $\boldsymbol{u}$}\\
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{6ex}$ a\, u' $, $ a \in \R $ & $ a\, u + C $ & \\[3ex]
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{6ex}$ u'+v' $ & $ u + v + C $ & \\[3ex]
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{6ex}$ u'\, u^n $, $ n \in \Z $ et $ n \notin \{-1\; ;\ 0\} $ & $ \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C $ & $u(x) \neq 0 \text{ pour } x\in I \text{ si } n\le -2$\\[3ex]
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{6ex}$ \dfrac{u'}{u} $ & $ \ln(u) +C $ & $ u(x)>0,\ x \in I $\\[2ex]
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{6ex}$ \dfrac{u'}{u^2} $ & $ -\dfrac1{u} +C $ & $ u(x)\neq 0,\ x \in I $\\[2ex]
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{6ex}$ \dfrac{u'}{\sqrt{u}} $ & $ 2\sqrt{u} +C $ & $ u(x)>0,\ x \in I $\\[2ex]
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{6ex}$ u'e^{u} $ & $ e^{u} +C $ & \\[2ex]
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{6ex}$ \cos(\omega\, x + \varphi) $, $ \omega \in \R $ et $ \varphi \in \R $ & $ \dfrac1{\omega}\sin(\omega\, x + \varphi) + C $ & \\[3ex]
    \hline
    \rule[-1ex]{0pt}{6ex}$ \sin(\omega\, x + \varphi) $, $ \omega \in \R $ et $ \varphi \in \R $ & $ -\dfrac1{\omega}\cos(\omega\, x + \varphi) + C $ & \\[3ex]
    \hline
  \end{tabularx}
\end{center}

\vspace{.4cm}

\begin{application}[calcul de primitives (2)]
  Calculer les primitives des fonctions suivantes:
  \begin{tasks}(4)[style=enumerate]
    \task $ f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1} $
    \task $ f(x) = (x+1)\e^{x^2+2x+1} $
    \task $ f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} $
    \task $ f(x) = \cos(2x + 7) $
    \task $ f(x) = \dfrac{x^3}{\left( x^4+1 \right)} $
    \task $ f(x) = \sin x\, \cos^3 x $
    \task $ f(x) = \tan x $
    \task $ f(x) = \dfrac{\sin x}{\cos^2 x } $
  \end{tasks}
\end{application}