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\partie{Probabilité conditionnelle}

% Définition
\begin{definition}[probabilité conditionnelle]
  \noindent
  $ A $ est un événement tel que $ P(A) \neq 0 $.\\~\\
  On appelle probabilité conditionnelle de $ B $ sachant $ A $, la probabilité que l'événement $ B $ se réalise sachant que l'événement $ A $ est réalisé.
  Elle est notée $ P_A(B) $ et est définie par :
  \[
  P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}
  \]
\end{definition}

% Remarque
\begin{remarque}
  \bi
    \item Si $ B $ est tel que $ P(B) \neq 0 $, on a également $ P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} $ ;
    \item La probabilité conditionnelle est une probabilité, elle admet donc les mêmes propriétés que les probabilités <<simples>>. En particulier :
  \ei
\end{remarque}

\medskip

% Propriete
\begin{propriete}[]
  \bi
    \item $ 0 \leq P_A(B) \leq 1 $
    \item $ P_A(\overline{B}) = 1 - P_A(B) $
    \item $ P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) $
  \ei
\end{propriete}

\medskip

% Application
\begin{application}
  La répartition des élèves de Terminale d'un lycée en 2017 est telle que : \SI{30}{\percent} des élèves sont en ES, \SI{50}{\percent} en S et le reste en L. \SI{15}{\percent} des élèves du lycée sont des filles de L. Parmi les élèves de ES, \SI{62}{\percent} sont des filles et parmi les élèves de S, \SI{54}{\percent} sont des garçons.\\
  On sélectionne au hasard un élève de Terminale et on note les événements suivants :
  \begin{tasks}(2)
    \task $ L:\ \text{<< l'élève est dans la section L >>} $ ;
    \task $ E:\ \text{<< l'élève est dans la section ES >>} $ ;
    \task $ S:\ \text{<< l'élève est dans la section S >>} $ ;
    \task $ F:\ \text{<< l'élève est une fille >>} $.
%    \task $ G:\ \text{<< l'élève est un garçon >>} $.
  \end{tasks}
  Déterminer :
  \begin{tasks}(7)
    \task $ P(E) $
    \task $ P(S) $
    \task $ P(L) $
    \task $ P(L \cap F) $
    \task $ P_E(F) $
    \task $ P_S(G) $
    \task $ P_L(F) $
  \end{tasks}
%  \pskip{1}
%  \bi
%    \item $ P(E) = 0,30\ ;\ P(S) = 0,50\ \text{et}\ P(L) = 1 - P(E) - P(S) = 1 - 0,30 - 0,50 = 0,20 $.
%    \item $ P(L \cap F) = 0,15\ ;\ P_E(F) = 0,62\ \text{et}\ P_S(G) = 0,54 $.
%    \item $ P_L(F) = \dfrac{P(L \cap F)}{P(L)} = \dfrac{0,15}{0,20} = 0,75 $.
%  \ei
\end{application}

