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\partie{Probabilités totales}

\begin{definition}[partition de l'univers]
  \begin{tabular}{l r}
    % \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}
    \begin{minipage}{.7\textwidth}
      \noindent
      On considère un événement $A$ et $n$ événements non vides $A_1, A_2, \dots, A_n$ tels que:\\
      \begin{itemize}
        \item pour tout $i$ et $j$ entiers compris entre $1$ et $n$, avec $i \neq j$, $A_i \cap A_j = \emptyset$;
        \item $A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_{n-1} \cup A_n = A$.
      \end{itemize}

      \noindent
      On dit alors que les événements $\left( A_k \right)_{1 \le k \le n}$ forment une partition de $A$. 
    \end{minipage}
    & 
    \begin{minipage}{.3\textwidth}
      \begin{tikzpicture}[xscale=.75,yscale=.75]
        \newcommand{\cercleA}{(0,0) circle (2cm)}
        \newcommand{\carreO}{(-2.5,2.5) rectangle (2.5,-2.5)}
        
        \draw[color=black,fill=white,thick] \carreO;
        
        \draw[color=black,fill=white,thick] \cercleA;
        \draw[color=black] (-1.74,1) -- (1.74,1);
        \draw[color=black] (-2,0) -- (2,0);
        \draw[color=black] (-1.74,-1) -- (1.74,-1);
        
        % \draw[pattern=north west lines] (.75,0) ellipse (.5cm and 1.5cm);
        
        \node[circle] at (0,1.5) {\footnotesize$A_1$};
        \node[circle] at (0,.5) {\footnotesize$A_2$};
        \node[circle] at (0,-.5) {\footnotesize$\dots$};
        \node[circle] at (0,-1.5) {\footnotesize$A_n$};
        % \node[draw=none,fill=white,inner sep=0pt,minimum size=1em] at (.75,0) {\footnotesize$E$};
        
        \draw[color=black] (1.5,1.3) -- ++(.25,.25) node[] at ++(.2,.2) {$A$};
      \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
  \end{tabular}
\end{definition}

\medskip

\begin{propriete}[probabilités totales]
  \begin{tabular}{l r}
    % \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}
    \begin{minipage}{.8\textwidth}
      \noindent
      Soit les événements $A_1, A_2, \dots, A_n$ de probabilités non nulles et formant une partition de $\Omega$.\\
      Alors la probabilité de l'événement $E$ est donnée par:\\

      $\begin{array}{r c l}
        P(E) & = & P(E \cap A_1) +P(E \cap A_2) + \dots + P(E \cap A_n)\\
        P(E) & = & P(A_1) \times P_{A_0}(E) + P(A_2) \times P_{A_2}(E) + \dots + P(A_n) \times P_{A_n}(E)
      \end{array}$
    \end{minipage}
    & 
    \begin{minipage}{.2\textwidth}
      \begin{tikzpicture}[xscale=.75,yscale=.75]
        \newcommand{\cercleA}{(0,0) circle (2cm)}
        \draw[color=black,fill=white,thick] \cercleA;
        \draw[color=black] (-1.74,1) -- (1.74,1);
        \draw[color=black] (-2,0) -- (2,0);
        \draw[color=black] (-1.74,-1) -- (1.74,-1);
        
        \draw[pattern=north west lines] (.75,0) ellipse (.5cm and 1.5cm);
        
        \node[circle] at (-.75,1.5) {\footnotesize$A$};
        \node[circle] at (-.75,.5) {\footnotesize$B$};
        \node[circle] at (-.75,-.5) {\footnotesize$C$};
        \node[circle] at (-.75,-1.5) {\footnotesize$D$};
        \node[draw=none,fill=white,inner sep=0pt,minimum size=1em] at (.75,0) {\footnotesize$E$};
        
        \draw[color=black] (1.5,1.3) -- ++(.25,.25) node[] at ++(.2,.2) {$\Omega$};
      \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
  \end{tabular}
\end{propriete}

\medskip

\begin{propriete}[cas particuliers des événements contraires]
  \begin{tabular}{l r}
    % \rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}
    \begin{minipage}{.8\textwidth}
      \noindent
      Les événements $A$ et $\barre{A}$ formant une partition de $\Omega$, on a:\\

      \noindent
      $\begin{array}{r c l}
        P(B) & = & P(B \cap A) + P(B \cap \barre{A})\\
        P(B) & = & P(A) \times P_{A}(B) + P(\barre{A}) \times P_{\barre{A}}(B)
      \end{array}$
    \end{minipage}
    & 
    \begin{minipage}{.2\textwidth}
      \begin{tikzpicture}[xscale=.75,yscale=.75]
        \newcommand{\cercleA}{(0,0) circle (2cm)}
        \draw[color=black,fill=white,thick] \cercleA;
        % \draw[color=black] (-1.74,1) -- (1.74,1);
        \draw[color=black] (-2,0) -- (2,0);
        % \draw[color=black] (-1.74,-1) -- (1.74,-1);
        
        \draw[pattern=north west lines] (.75,0) ellipse (.5cm and 1.5cm);
        
        % \node[circle] at (-.75,1.5) {\footnotesize$A$};
        \node[circle] at (-.75,1) {\footnotesize$A$};
        % \node[circle] at (-.75,-.5) {\footnotesize$C$};
        \node[circle] at (-.75,-1) {\footnotesize$\barre{A}$};
        \node[draw=none,fill=white,inner sep=0pt,minimum size=1em] at (.75,0) {\footnotesize$B$};
        
        \draw[color=black] (1.5,1.3) -- ++(.25,.25) node[] at ++(.2,.2) {$\Omega$};
      \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
  \end{tabular}
\end{propriete}

\medskip

% Application
\begin{application}[utiliser les probabilités totales]
  \small
  Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.\\
  Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont \SI{2}{\percent} est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants :
  \bi
  \item si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans \SI{85}{\percent} des cas ;
  \item si un animal est sain, le test est négatif dans \SI{95}{\percent} des cas.
  \ei
  On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour toute la population et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie.\\
  On note respectivement $ M $ et $ T $ les événements << Être porteur de la maladie >> et << Avoir un test positif >>.
  % Questions
  \begin{questions}
    \item Un animal est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que son test soit positif ?
    \item Si le test du bovin est positif, quelle est la probabilité qu’il soit malade ?
  \end{questions}
\end{application}