% !TeX root = prof_-_probabilites_conditonnelles_-_2021_1.tex

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\partie{Arbre pondéré}

\sspartie{Exemple}

\small{À partir des données de l'application de la première partie, on peut construire l'arbre suivant:}
\nskip{.4}

\import{images/}{fig1.tex}

\nskip{.2}

\sspartie{Propriétés}

% Propriete
\begin{propriete}[loi des noeuds]
  La somme des probabilités des branches d'un même nœud est égale à 1.
\end{propriete}

% Exemple
\begin{exemple}
  \bi
    \item Depuis la racine de l'arbre, on a : $ P(L) + P(E) + P(S) = 0,20 + 0,30 + 0,50 = 1 $;
    \item Depuis le nœud $ E $, on a : $ P_E(G) = 1 - P_E(F) = 1 - 0,62 = 0,38 $.
  \ei
\end{exemple}

\medskip

% Propriete
\begin{propriete}[loi des chemins]
  La probabilité d'un événement réalisé par un chemin (probabilité d'une << feuille >>) est égale au produit des probabilités rencontrées sur chaque branche parcourue de ce chemin.
\end{propriete}

% Exemple
\begin{exemple}
  \nskip{.05}
  On considère la feuille $ E \cap F $. On a : $ P(E \cap F) = P(E) \times P_E(F) = 0,30 \times 0,62 = 0,186 $.
\end{exemple}

\medskip

% Propriete
\begin{propriete}[probabilités totales]
  La probabilité d'un événement associé à plusieurs << feuilles >> est égale à la somme des probabilités de chacune de ces << feuilles >>.
\end{propriete}

% % Exemple
% \begin{exemple}
%   On choisit au hasard un élève du lycée. Quelle est la probabilité que cet élève soit une fille ?\\~\\
%   $ P(F) = P(L \cap F) + P(E \cap F) + P(S \cap F) = 0,15 + 0,186 + 0,23 = 0,566 $.% Donc la probabilité de choisir une fille parmi les élèves du lycée est $ 0,566 $.
% \end{exemple}

% % Application
% \begin{application}[calculer la probabilité d'un événement associé à plusieurs feuilles]
%   \small
%   Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.\\
%   Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont \SI{2}{\percent} est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants :
%   \bi
%   \item si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans \SI{85}{\percent} des cas ;
%   \item si un animal est sain, le test est négatif dans \SI{95}{\percent} des cas.
%   \ei
%   On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour toute la population et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie.\\
%   On note respectivement $ M $ et $ T $ les événements << Être porteur de la maladie >> et << Avoir un test positif >>.
%   % Questions
%   \begin{questions}
%     \item Un animal est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que son test soit positif ?
%     \item Si le test du bovin est positif, quelle est la probabilité qu’il soit malade ?
%   \end{questions}
% \end{application}