% !TeX root = prof_-_etude_de_fonction_-_2023_1.tex

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\partie{Applications}

\begin{application}[calculer une dérivée]
	Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions sur l'intervalle donné.

	\begin{tasks} (2)[]
		\task\ $f_1(x) = x^2 \e^{x}$ \qquad pour $x \in \R$
		\task\ $f_2(x) = 3 \ln(x) - \dfrac5{x} + 2\sqrt{x}$ \qquad pour $ x \in ]0\ ;\ +\infty[ $
		\task\ $f_3 = \dfrac{5x+3}{x-4}$ \qquad pour $x \in ]-\infty\ ;\ 4[ \cup ]4\ ;\ +\infty[$
		\task\ $f_4(x) = \e^{x^2-x}$ \qquad pour $x \in \R$
		\task\ $f_5(x) = \ln(x^3+1)$ \qquad pour $x \in ]0\ ;\ +\infty[$
	\end{tasks}
\end{application}

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\begin{application}[calculer une limite]
	Déterminer les limites suivantes:
	\begin{tasks} (4)[]
		\task\ $ \lim\limits_{x \to +\infty } 5-x^2 \e^{x} $
		\task\ $ \lim\limits_{\substack{ x \to 0 \\ x>0 }} \dfrac{3+x}{\ln x} $
		\task\ $ \lim\limits_{\substack{ x \to -2 \\ x>-2 }} \dfrac{x^2-6x+7}{4+2x} $
		\task\ $ \lim\limits_{x \to -\infty } \e^{x^2-x} $
	\end{tasks}
\end{application}

\vspace{.4cm}

\begin{application}[étudier une fonction et ses asymptotes]
	Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty\ ;\ -2[\cup]-2\ ;\ +\infty[$ par $f(x)=x+3-\dfrac1{x+2}$ et $\ronde{C}_f$ sa courbe représentative.
	\begin{questions}
		\item Calculer la dérivée de la fonction $f$ et étudier ses variations.
		\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
		\item En déduire l'existence d'une asymptote verticale et préciser son équation.
		\item Montrer que la droite $D$ d'équation $y=x+3$ est asymptote oblique à la coiurbe $\ronde{C}_f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
		\item Déterminer la position relative de $\ronde{C}_f$ et de la droite $D$. Justifier.
	\end{questions}
\end{application}

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