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% !TeX root = prof_-_etude_de_fonction_-_2023.1.tex
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\partie{Rappels : limites et asymptotes}
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\sspartie{Limites des fonctions de références}
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\ssspartie{Limite en $\boldsymbol{\infty}$}
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\begin{center}
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% \resizebox{\textwidth}{!}{%
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\begin{tabular}{|>{\columncolor[HTML]{B5B5B5}}c|c|c|c|c|c|c|c|}
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\hline
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\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$f(x)$ & $x^n$ & $\dfrac1{x^n}$ & $\sqrt{x}$ & $\dfrac1{\sqrt{x}}$ & $e^{x}$ & $e^{ax}$ & $\ln(x)$ \\[2ex] \hline
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\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=$ & $+\infty$ & $0$ & $+\infty$ & $0$ & $+\infty$ &
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\begin{tabular}{lr}
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$+\infty$ & si $a>0$ \\
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$0$ & si $a<0$
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\end{tabular} & $+\infty$ \\ \hline
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\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=$
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&
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\begin{tabular}{lr}
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$-\infty$ & si $n$ impair \\
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$+\infty$ & si $n$ pair
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\end{tabular}
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& $0$ & non définie & non définie & $0$ &
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\begin{tabular}{lr}
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$0$ & si $a>0$ \\
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$+\infty$ & si $a<0$
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\end{tabular} & non définie \\ \hline
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\end{tabular}%
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% }
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\end{center}
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\vspace{-.2cm}
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\ssspartie{Limite en $\boldsymbol{0}$}
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\begin{center}
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% \resizebox{\textwidth}{!}{%
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\begin{tabular}{|>{\columncolor[HTML]{B5B5B5}} c|c|c|c|}
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\hline
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\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$f(x)$ & $\dfrac1{x^n}$ & $\dfrac1{\sqrt{x}}$ & $\ln(x)$ \\[2ex] \hline
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\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}}f(x)=$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ \\[2ex] \hline
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\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex}$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}}f(x)=$
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&
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\begin{tabular}{lr}
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$-\infty$ & si $n$ impair \\
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$+\infty$ & si $n$ pair
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\end{tabular}
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& non définie & non définie \\ \hline
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\end{tabular}%
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% }
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\end{center}
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\vspace{-.2cm}
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\ssspartie{Opérations sur les limites}
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\begin{tasks}[style=itemize](4)
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\task $ f $ et $ g $ sont deux fonctions ;
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\task $A$ est soit $+\infty$, soit $-\infty$ ou un réel ;
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\task \textsf{\textbf{F. I.}} : Forme indéterminée ;
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\task \textup{*} : règle des signes.
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\end{tasks}
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\begin{multicols}{2}
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~
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\vspace{-1.3cm}
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\begin{center}
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% \resizebox{\textwidth}{!}{%
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\begin{tabular}{|>{\columncolor[HTML]{FFFFFF}}c |c|c|c|c|c|>{\columncolor[HTML]{EFEFEF}}c|}
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\hline
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Si $\lim\limits_{x \to A}f(x)=$ & $\ell$ & $\ell$ & $\ell$ & $+\infty$ & $-\infty$ & {$+\infty$} \\
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\hline
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Si $\lim\limits_{x \to A}g(x)=$ & $\ell'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & {$-\infty$} \\
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\hline
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alors $\lim\limits_{x \to A}f(x)+g(x)=$ & $\ell + \ell'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & {\textsf{\textbf{F. I}}} \\
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\hline
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\end{tabular}%
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% }
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\end{center}
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\columnbreak
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\begin{center}
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% \resizebox{\textwidth}{!}{%
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\begin{tabular}{|>{\columncolor[HTML]{FFFFFF}}c |c|c|>{\columncolor[HTML]{EFEFEF}}c|c|}
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\hline
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Si $\lim\limits_{x \to A}f(x)=$ & $\ell$ & $\ell \neq0 $ & {$0$} & $\infty$ \\
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\hline
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Si $\lim\limits_{x \to A}g(x)=$ & $\ell'$ & $\infty$ & {$\infty$} & $\infty$ \\
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\hline
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alors $\lim\limits_{x \to A}f(x) \times g(x)=$ & $\ell \times \ell'$ & $\infty^{*}$ & {\textsf{\textbf{F. I.}}} & $\infty^{*}$ \\
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\hline
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\end{tabular}%
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% }
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\end{center}
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\end{multicols}
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\begin{center}
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% \resizebox{\textwidth}{!}{%
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\begin{tabular}{|>{\columncolor[HTML]{FFFFFF}}c |c|c|>{\columncolor[HTML]{EFEFEF}}c|c|c|>{\columncolor[HTML]{EFEFEF}}c|}
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\hline
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Si $\lim\limits_{x \to A}f(x)=$ & $\ell$ & $\ell \neq 0$ & {$0$} & $\ell$ & $\infty$ & {$\infty$} \\
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\hline
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Si $\lim\limits_{x \to A}g(x)=$ & $\ell' \neq 0$ & $0$ & {$0$} & $\infty$ & $\ell'$ & {$\infty$} \\
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\hline
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alors $\lim\limits_{x \to A}\dfrac{f(x)}{g(x)}=$ & $\dfrac{\ell}{\ell'}$ & $\infty^{*}$ & {\textsf{\textbf{F. I.}}} & $0$ & $\infty^{*}$ & {\textsf{\textbf{F. I.}}} \\
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\hline
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\end{tabular}%
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% }
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\end{center}
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\sspartie{Comportement asymptotique}
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\noindent
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On considère une fonction $f$, sa courbe $\ronde{C}_f$, $a$ et $\ell$ des nombres réels.
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\vspace{.4cm}
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\begin{definition}[existence d'asymptote horizontale]
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\bi
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\item Lorsque $ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell $, on dit que la courbe $\ronde{C}_f$ admet la droite d'équation $y=\ell$ comme asymptote horizontale en $+\infty$.
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\item Lorsque $ \lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty $, on dit que la courbe $\ronde{C}_f$ admet la droite d'équation $x=a$ comme asymptote verticale.
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\item Lorsque $ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) - (mx+p)= \ell $, on dit que la courbe $\ronde{C}_f$ admet la droite d'équation $y=mx+p$ comme asymptote oblique en $+\infty$.
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\ei
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\end{definition}
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\vspace{.2cm}
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\noindent
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On retrouve les même situations lorsque $x$ tend vers $-\infty$.
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\vspace{.4cm}
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% exemple
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\begin{exemple}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{ccc}
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\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex} $f(x) = \ln(x+1)$ & \hspace{.2cm} & $g(x) = \dfrac{2}{x-3}+5$ \\
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\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex} \includegraphics[scale=.8]{fig4.pdf} & \hspace{.2cm} & \includegraphics[scale=1.25]{fig5.pdf} \\
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\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex} la droite $x=-1$ est asymptote verticale & \hspace{.2cm} & les droites $y=5$ et $x=3$ sont asymptotes horizontale et verticale \\
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\end{tabular}
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\end{center}
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~\vspace{.4cm}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{ccc}
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\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex} \hspace{.2cm} & $h(x) = \dfrac{x^2-3x+1}{x}$ & \hspace{.2cm} \\
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\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex} \hspace{.2cm} & \includegraphics[scale=.8]{fig6.pdf} & \hspace{.2cm} \\
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\rule[-1ex]{0pt}{2.5ex} \hspace{.2cm} & la droite $y=x-3$ est asymptote oblique & \hspace{.2cm} \\
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\end{tabular}
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\end{center}
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\end{exemple}
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