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% !TeX root = prof_-_calcul_integral_-_2023_1.tex
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\partie{Intégration par parties}
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\begin{propriete}[]
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\vspace{-.4cm}
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Soit $ u $ et $ v $ deux fonctions dérivables sur $ [a\ ;\ b] $ de dérivées $ u' $ et $ v' $ continues, alors :
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\[
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\int_{a}^{b} uv'(x)\; dx = \left[ u\; v(x)\right ]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'v(x)\; dx
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\]
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\end{propriete}
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% remarque
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\begin{remarque}
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Le choix de $ u $ et $ v' $ est à faire judicieusement puisqu'il faut pouvoir trouver une primitive de $ u'v $.
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\end{remarque}
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\medskip
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\begin{application}[intégration par partie]
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\vspace{-.4cm}
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Calculer $ \int_{0}^{1} x\e^{x}\; dx $.
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%
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% \noindent
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% On ne peut pas trouver une primitive de $ x \mapsto x\e^{x} $ car non de la forme $ u'\e^{u} $.\\
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% On intègre par partie :
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%
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% \[
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% \begin{array}{rcl}
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% u(x) = x & & u'(x) = 1 \\
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% v'(x) = \e^{x} & & v(x) = \e^{x}
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% \end{array}
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% \]
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%
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% \[
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% \int_{0}^{1} x\e^{x}\; dx = \left[ x\e^{x} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \e^{x} \times 1\; dx = \left[ x\e^{x} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \e^{x} \; dx = \left[ x\e^{x} \right]_{0}^{1} - \left[\e^{x} \right]_{0}^{1} = (\e - 0) - (\e - 1) = 1.
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% \]
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\end{application}
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\medskip
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% application
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\begin{application}[déterminer une primitive]
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\vspace{-.4cm}
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Déterminer une primitive de $ \ln $ sur $ ]0\ ;\ +\infty[ $.
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\end{application}
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