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% !TeX root = prof_-_probabilites_conditonnelles_-_2021_1.tex
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\newpage
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\partie{Arbre pondéré}
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\sspartie{Exemple}
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\small{À partir des données de l'application de la première partie, on peut construire l'arbre suivant:}
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\nskip{.4}
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\import{images/}{fig1.tex}
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\nskip{.2}
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\sspartie{Propriétés}
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% Propriete
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\begin{propriete}[loi des noeuds]
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La somme des probabilités des branches d'un même nœud est égale à 1.
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\end{propriete}
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% Exemple
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\begin{exemple}
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\bi
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\item Depuis la racine de l'arbre, on a : $ P(L) + P(E) + P(S) = 0,20 + 0,30 + 0,50 = 1 $;
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\item Depuis le nœud $ E $, on a : $ P_E(G) = 1 - P_E(F) = 1 - 0,62 = 0,38 $.
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\ei
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\end{exemple}
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\medskip
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% Propriete
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\begin{propriete}[loi des chemins]
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La probabilité d'un événement réalisé par un chemin (probabilité d'une << feuille >>) est égale au produit des probabilités rencontrées sur chaque branche parcourue de ce chemin.
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\end{propriete}
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% Exemple
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\begin{exemple}
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\nskip{.05}
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On considère la feuille $ E \cap F $. On a : $ P(E \cap F) = P(E) \times P_E(F) = 0,30 \times 0,62 = 0,186 $.
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\end{exemple}
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\medskip
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% Propriete
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\begin{propriete}[probabilités totales]
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La probabilité d'un événement associé à plusieurs << feuilles >> est égale à la somme des probabilités de chacune de ces << feuilles >>.
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\end{propriete}
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% % Exemple
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% \begin{exemple}
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% On choisit au hasard un élève du lycée. Quelle est la probabilité que cet élève soit une fille ?\\~\\
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% $ P(F) = P(L \cap F) + P(E \cap F) + P(S \cap F) = 0,15 + 0,186 + 0,23 = 0,566 $.% Donc la probabilité de choisir une fille parmi les élèves du lycée est $ 0,566 $.
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% \end{exemple}
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% % Application
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% \begin{application}[calculer la probabilité d'un événement associé à plusieurs feuilles]
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% \small
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% Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.\\
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% Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont \SI{2}{\percent} est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants :
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% \bi
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% \item si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans \SI{85}{\percent} des cas ;
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% \item si un animal est sain, le test est négatif dans \SI{95}{\percent} des cas.
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% \ei
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% On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour toute la population et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie.\\
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% On note respectivement $ M $ et $ T $ les événements << Être porteur de la maladie >> et << Avoir un test positif >>.
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% % Questions
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% \begin{questions}
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% \item Un animal est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que son test soit positif ?
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% \item Si le test du bovin est positif, quelle est la probabilité qu’il soit malade ?
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% \end{questions}
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% \end{application}
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