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% !TeX root = prof_-_probabilites_conditonnelles_-_2021_1.tex
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\partie{Probabilité conditionnelle}
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% Définition
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\begin{definition}[probabilité conditionnelle]
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\noindent
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$ A $ est un événement tel que $ P(A) \neq 0 $.\\~\\
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On appelle probabilité conditionnelle de $ B $ sachant $ A $, la probabilité que l'événement $ B $ se réalise sachant que l'événement $ A $ est réalisé.
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Elle est notée $ P_A(B) $ et est définie par :
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\[
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P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}
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\]
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\end{definition}
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% Remarque
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\begin{remarque}
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\bi
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\item Si $ B $ est tel que $ P(B) \neq 0 $, on a également $ P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} $ ;
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\item La probabilité conditionnelle est une probabilité, elle admet donc les mêmes propriétés que les probabilités <<simples>>. En particulier :
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\ei
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\end{remarque}
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\medskip
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% Propriete
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\begin{propriete}[]
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\bi
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\item $ 0 \leq P_A(B) \leq 1 $
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\item $ P_A(\overline{B}) = 1 - P_A(B) $
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\item $ P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) $
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\ei
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\end{propriete}
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\medskip
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% Application
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\begin{application}
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La répartition des élèves de Terminale d'un lycée en 2017 est telle que : \SI{30}{\percent} des élèves sont en ES, \SI{50}{\percent} en S et le reste en L. \SI{15}{\percent} des élèves du lycée sont des filles de L. Parmi les élèves de ES, \SI{62}{\percent} sont des filles et parmi les élèves de S, \SI{54}{\percent} sont des garçons.\\
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On sélectionne au hasard un élève de Terminale et on note les événements suivants :
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\begin{tasks}(2)
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\task $ L:\ \text{<< l'élève est dans la section L >>} $ ;
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\task $ E:\ \text{<< l'élève est dans la section ES >>} $ ;
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\task $ S:\ \text{<< l'élève est dans la section S >>} $ ;
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\task $ F:\ \text{<< l'élève est une fille >>} $.
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% \task $ G:\ \text{<< l'élève est un garçon >>} $.
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\end{tasks}
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Déterminer :
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\begin{tasks}(7)
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\task $ P(E) $
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\task $ P(S) $
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\task $ P(L) $
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\task $ P(L \cap F) $
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\task $ P_E(F) $
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\task $ P_S(G) $
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\task $ P_L(F) $
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\end{tasks}
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% \pskip{1}
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% \bi
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% \item $ P(E) = 0,30\ ;\ P(S) = 0,50\ \text{et}\ P(L) = 1 - P(E) - P(S) = 1 - 0,30 - 0,50 = 0,20 $.
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% \item $ P(L \cap F) = 0,15\ ;\ P_E(F) = 0,62\ \text{et}\ P_S(G) = 0,54 $.
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% \item $ P_L(F) = \dfrac{P(L \cap F)}{P(L)} = \dfrac{0,15}{0,20} = 0,75 $.
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% \ei
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\end{application}
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